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這是一個很好的問題，我會用簡單、清晰的方式來說明 梯度計算的原理、Mini-batch SGD 的運行方式、整體神經網絡的訓練流程，以及為什麼整個架構設計要是這樣。你可以把這整個流程想像成一個「資料進來－模型計算－錯誤回傳－參數更新」的循環。

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🔧 1. 梯度計算的原理（Gradient） §

當我們訓練神經網絡時，我們的目標是最小化損失函數（loss function），例如 MSE 或 Cross Entropy。
但我們不知道什麼參數會讓 loss 最小，所以我們要計算「loss 對每個參數的偏導數」➡️ 這就是梯度。

梯度 = 損失函數對每個權重的偏導數
意思是：每個參數要調整多少，才會讓 loss 降低最多。

這裡就用到了 鏈式法則（Chain Rule），因為神經網絡是很多層的組合，從 output 一層一層「反向」算回去。

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🔁 2. Mini-batch SGD 的運行方式 §

SGD = Stochastic Gradient Descent
Mini-batch SGD 是它的改良版：

種類	資料量	特點
Batch GD	全部資料	很準，但慢
SGD	一筆資料	快，但震盪大
Mini-batch SGD	一小批資料（例如32筆）	速度與穩定性兼具 ✔️

運行流程： §

1. 資料被切成一批一批的 mini-batches

2. 對每一個 mini-batch 做：

   • Forward pass（前向傳遞）

   • 計算 loss

   • Backward pass（反向傳遞）

   • 更新參數

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🔄 3. Backward Pass 如何做（反向傳遞） §

這步叫做 Backpropagation，核心是：

使用鏈式法則（Chain Rule）一層一層地計算梯度，從最後一層開始往前傳。

例如：

• 最後一層 output 為 $\hat{y}$，實際答案為 $y$

• 損失函數是 $L(\hat{y},y)$

• 我們要對每一層的權重 $W$ 計算 $\frac{\partial L}{\partial W}$

這樣每個權重都能知道該怎麼調整。

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⚙️ 4. 整體架構為什麼這樣設計？ §

原因 1：可組合性（Composability） §

神經網絡像樂高一樣，每層做一點簡單的事（加權、加 bias、啟用函數），但組合起來就能表現很複雜的函數。

原因 2：可微分性（Differentiability） §

每個部分都要可微，這樣才能用微分（梯度）來優化。

原因 3：效率（Efficiency） §

Mini-batch + 向量化計算（用矩陣計算而不是 for 迴圈）能讓 GPU 高效訓練。

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🧠 整體流程總結（超重要！） §

以一個 epoch 的訓練流程來說：

1. 資料 ➡️ 分成多個 mini-batches

2. 每個 mini-batch：

   • 前向傳遞（Forward）

   • 計算損失（Loss）

   • 反向傳遞（Backward）

   • 更新參數（SGD）

3. 重複這個流程很多 epochs，直到 loss 收斂