Probability

study

隨機實驗 §

• 樣本空間
• 事件

機率公理 The Axioms of Probability §

映射到 [0, 1] 區間

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隨機變數 §

是一個函數，將隨機實驗樣本空間 $S$ 中的每一個結果映射到一個實數上

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機率質量函數 Probability Mass Function §

• 定義為 $p_X(x)=P[X=x]$，描述隨機變數等於某個特定數值 $x$ 的機率
• 機率值必定大於或等於零：$p_X(x)\ge 0$
• 所有可能結果的機率總和等於 1：$\sum p_X(x)=1$
• 某事件發生的機率，等於該事件包含的所有結果的 PMF 總和

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Bernoulli Random Variable §

• 描述單次試驗，結果只有兩種：成功（1）或失敗（0）
• PMF: $P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$
• Indicator Function：$I_A(x)=1$ if $x\in A$, else $0$

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Binomial Random Variable §

• Describes the number of successes in $n$ independent Bernoulli trials
• PMF: $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ for $k\in \{0,1,...,n\}$
• Expected Value: $np$
• Variance: $np(1-p)$

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Geometric Random Variable §

• Describes the number of independent Bernoulli trials required to achieve the first success
• PMF: $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$ for $k\in \{1,2,...\}$
• Expected Value: $1/p$
• Variance: $(1-p)/p^2$